統計検定2級の仮説検定は、試験の中でも最頻出のテーマです。しかし、「どの検定を使えばいいかわからない」「p値の解釈が曖昧」という方も多いと思います。そこでこの記事では、統計検定2級の仮説検定に関する練習問題を10問掲載しています。また、すべての問題に解説付きの解答を用意しています。したがって、独学での試験対策にぜひご活用ください。

この記事の練習問題で扱うテーマ
  • 帰無仮説・対立仮説の設定
  • 有意水準と棄却域
  • z検定・t検定
  • p値の解釈
  • 第一種・第二種の過誤
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統計検定2級 仮説検定とは

仮説検定とは、データをもとに仮説の正しさを確率的に判断する方法です。つまり、「差がある」「効果がある」といった主張を、数値的な根拠をもって判断できます。統計検定2級では、z検定・t検定・比率の検定など、さまざまな種類の仮説検定が出題されます。したがって、基本的な考え方と計算手順をしっかり身につけることが合格への近道です。

仮説検定の基本的な手順

まず、仮説検定の基本手順を確認しておきましょう。手順は以下のとおりです。

  1. 帰無仮説と対立仮説を設定する：「差がない」という帰無仮説と、「差がある」という対立仮説を決めます。
  2. 有意水準を決める：一般的にα＝0.05（5%）を使います。
  3. 検定統計量を計算する：z値またはt値を求めます。
  4. 棄却域と比較して結論を出す：検定統計量が棄却域に入れば帰無仮説を棄却します。

したがって、この手順を意識しながら以下の練習問題に取り組んでみてください。

練習問題

問題 1

仮説検定において、帰無仮説が正しいにもかかわらず棄却してしまう誤りを何というか。また、その誤りを犯す確率を何と呼ぶか。

正解できた？
第一種の過誤（Type I Error）。その確率を有意水準（α）という。
解説
仮説検定には2種類の過誤があります。それぞれの意味を整理しておきましょう。
・第一種の過誤：帰無仮説が正しいのに棄却してしまう誤りです。冤罪に例えられます。
・第二種の過誤：帰無仮説が誤りなのに棄却しない誤りです。真犯人を逃がすことに例えられます。
つまり、どちらの過誤も「判断のミス」ですが、性質が異なります。
ポイント有意水準α＝0.05とは、「帰無仮説が正しいとき、誤って棄却する確率を5%以下に抑える」という意味です。したがって、αは第一種の過誤の上限を設定するものといえます。
問題 2

ある工場で製造されるボルトの直径は、従来の平均が10.0mm、標準偏差が0.2mmの正規分布に従うとされていた。新しい製造方法に変更後、25本を無作為抽出したところ、標本平均が10.08mmだった。有意水準5%で、平均値が変化したかどうかを両側検定せよ。

母標準偏差：σ＝0.2mm　／　標本サイズ：n＝25　／　標本平均：x̄＝10.08mm
帰無仮説：μ＝10.0　／　有意水準：α＝0.05（両側）　／　棄却域：|z|＞1.96
正解できた？
z＝2.0　→　|z|＞1.96 のため、帰無仮説を棄却する。つまり、平均値は変化したといえる。
STEP 1：検定統計量を計算する
まず、z値を求めます。
z ＝ (x̄ − μ) ÷ (σ ÷ √n)
z ＝ (10.08 − 10.0) ÷ (0.2 ÷ √25)
z ＝ 0.08 ÷ 0.04 ＝ 2.0
STEP 2：棄却域と比較する
次に、棄却域と比較します。|2.0| ＞ 1.96 となるため、帰無仮説を棄却します。
ポイント母標準偏差が既知の場合はz検定を使います。また、標本サイズが大きい場合も同様です。したがって、まず「σが既知かどうか」を確認する習慣をつけましょう。
問題 3

p値が0.03であった。有意水準を5%と設定していた場合、この検定の結論として正しいものはどれか。

① 帰無仮説を棄却する（有意差あり）
② 帰無仮説を棄却しない（有意差なし）
③ 対立仮説を棄却する
④ 判断できない
正解できた？
① 帰無仮説を棄却する（有意差あり）
解説
p値（0.03）＜ 有意水準α（0.05）のとき、帰無仮説を棄却します。したがって、「有意水準5%で有意差あり」という結論になります。
ポイントp値が小さいほど、帰無仮説のもとでは「めったに起きない結果」が得られたことを意味します。つまり、帰無仮説が疑わしいと判断できます。
問題 4

母平均が未知の正規分布に従う母集団から、標本サイズn＝16のデータを得た。標本平均x̄＝52.0、不偏標準偏差s＝4.0であった。母平均μ＝50に対してμ＞50の片側検定を有意水準5%で行え。

自由度15のt分布の上側5%点：t(15, 0.05)＝1.753
正解できた？
t＝2.0　→　t＞1.753 のため、帰無仮説を棄却する。つまり、母平均は50より大きいといえる。
STEP 1：検定統計量を計算する
t ＝ (52.0 − 50) ÷ (4.0 ÷ √16) ＝ 2.0 ÷ 1.0 ＝ 2.0
STEP 2：棄却域と比較する
2.0 ＞ 1.753 となるため、帰無仮説を棄却する。
ポイント母標準偏差が未知のときはt検定を使います。自由度はn−1です。
問題 5

有意水準を小さくすると、どのような影響があるか。第一種の過誤と第二種の過誤の観点から説明せよ。

正解できた？
第一種の過誤（α）は減少する。しかし、その代わりに第二種の過誤（β）は増加する。
解説
有意水準αを小さくすると、棄却域が狭くなります。そのため、帰無仮説を棄却しにくくなります。結果として、以下のような影響が生じます。
・第一種の過誤α：減少します（より慎重に棄却するため）
・第二種の過誤β：増加します（本当は棄却すべき場合でも棄却しにくくなるため）
ポイントαとβはトレードオフの関係にあります。したがって、どちらも小さくしたい場合は、標本サイズを大きくすることが唯一の方法です。つまり、αを下げるだけでは問題は解決しません。
問題 6

コインを100回投げたところ、表が60回出た。このコインが歪んでいるかどうかを有意水準5%で両側検定せよ。

帰無仮説：p＝0.5　／　有意水準：α＝0.05（両側）　／　棄却域：|z|＞1.96
正解できた？
z＝2.0　→　|z|＞1.96 のため、帰無仮説を棄却する。つまり、コインは歪んでいるといえる。
STEP 1：検定統計量を計算する
標本比率：p̂ ＝ 60÷100 ＝ 0.6
標準誤差：√(0.5×0.5÷100) ＝ 0.05
z ＝ (0.6 − 0.5) ÷ 0.05 ＝ 2.0
STEP 2：棄却域と比較する
|2.0| ＞ 1.96 となるため、帰無仮説を棄却する。
ポイント比率の検定では、帰無仮説のp₀を使って標準誤差を計算します。標本比率p̂を使わない点に注意しましょう。
問題 7

「検定結果が有意でなかった」ことは、「帰無仮説が正しい」ことを証明するか。理由も含めて答えよ。

正解できた？
証明しない。有意でないことは「帰無仮説を棄却する根拠が不十分だった」ことを意味するにすぎない。
解説
仮説検定は「帰無仮説を棄却するかしないか」を判断する手続きです。したがって、棄却しなかったとしても、それは帰無仮説が正しいことの証明にはなりません。たとえば、標本サイズが小さすぎて検出力が低い場合、本当は差があっても有意にならないことがあります。つまり、「有意でない」という結果は、データ不足が原因である可能性もあります。
ポイント「有意でない ＝ 差がない」ではありません。一方、「有意でない ＝ 差があるとはいえない」が正確な表現です。この違いは統計検定2級の仮説検定でよく問われる重要ポイントです。
問題 8

ある薬の効果を検証するため、服用群（n＝100）と非服用群（n＝100）の回復率を比較した。服用群の回復率は75%、非服用群は65%だった。2つの母比率に差があるか、有意水準5%で両側検定せよ。

p̂₁＝0.75、p̂₂＝0.65、n₁＝n₂＝100
プールした比率：p̂＝(75+65)÷200＝0.70　／　棄却域：|z|＞1.96
正解できた？
z≒1.54　→　|z|＜1.96 のため、帰無仮説を棄却しない。つまり、有意な差があるとはいえない。
STEP 1：標準誤差を計算する
√(0.70×0.30×(1/100+1/100)) ＝ √0.0042 ≒ 0.0648
STEP 2：検定統計量を計算する
z ＝ (0.75 − 0.65) ÷ 0.0648 ≒ 1.54
STEP 3：棄却域と比較する
|1.54| ＜ 1.96 のため、帰無仮説を棄却しない。
ポイント2標本の比率の差の検定では、プールした比率p̂を使って標準誤差を計算します。
問題 9

両側検定と片側検定について、どのように使い分けるか説明せよ。また、同じデータで片側検定の方が有意になりやすい理由も述べよ。

正解できた？
差の方向が事前にわかっている場合は片側検定、方向が不明な場合は両側検定を使う。片側検定の方が棄却域が一方に集中するため有意になりやすい。
使い分けの基準
まず、検定の方向性によって使い分けます。
・両側検定：方向を問わず「差があるか」を検証する場合に使います。
・片側検定：「特定の方向に差がある」と事前に予測できる場合に使います。
片側検定の方が有意になりやすい理由
両側検定ではα/2＝2.5%ずつ両側に分かれます。一方、片側検定では5%すべてが一方の側に集中します。したがって、棄却域が広くなり、有意になりやすくなります。つまり、同じデータでも片側検定の方が帰無仮説を棄却しやすいのです。
ポイント結果を見てから片側検定を選ぶことは統計的に不正です。したがって、必ずデータを見る前に検定の方向を決めましょう。
問題 10

ある工場の製品の重量について、従来の平均は500gとされていた。新しいロットから16個を無作為抽出し、以下のデータを得た。平均が変化したかを有意水準5%で両側検定せよ。

標本平均：x̄＝494g　／　不偏標準偏差：s＝12g　／　n＝16
自由度15のt分布の両側5%点：t(15, 0.025)＝2.131
正解できた？
t＝−2.0　→　|t|＜2.131 のため、帰無仮説を棄却しない。つまり、平均が変化したとはいえない。
STEP 1：検定統計量を計算する
t ＝ (494 − 500) ÷ (12 ÷ √16) ＝ −6 ÷ 3 ＝ −2.0
STEP 2：棄却域と比較する
両側検定の棄却域は |t| ＞ 2.131。
|−2.0| ＝ 2.0 ＜ 2.131 のため、帰無仮説を棄却しない。
ポイント両側検定のt値は絶対値で比較します。また、有意水準5%の両側検定では、t表の「上側2.5%点」を使います。
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/ 10問正解

統計検定2級 仮説検定 重要ポイントまとめ

仮説検定 重要ポイントまとめ
  • 第一種の過誤（α）と第二種の過誤（β）はトレードオフの関係にある
  • p値＜有意水準αのとき、帰無仮説を棄却する
  • 母標準偏差が既知→z検定、未知→t検定（自由度n−1）
  • 有意でない＝差がないの証明ではない
  • 片側・両側検定の選択はデータを見る前に決める