統計検定2級 対策問題（3月25日分）
本日は「推定・検定」「データの要約」「標本分布」を中心に、実戦で差がつくポイントを厳選しました。
問1：平均 μ = 50、標準偏差 σ = 10 の正規分布に従うデータ x を、平均 0、分散 1 の標準正規分布に変換する「標準化」の式として正しいものはどれですか。
- (x – 50) / 10
- (x – 10) / 50
- 10(x – 50)
- (x – 50)² / 10
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正解：(x – 50) / 10
標準化の基本式は z = (x – μ) / σ です。各データから平均を引いて標準偏差で割ることで、異なる単位のデータを比較可能な「zスコア」に変換できます。
問2：右側に長い裾を持つ分布（正の歪みがある分布）において、平均値と中央値の関係として一般的なものはどれですか。
- 平均値 ＞ 中央値
- 平均値 ＜ 中央値
- 平均値 ＝ 中央値
- 分布の形状に関わらず常に一定である
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正解：平均値 ＞ 中央値
右側に極端に大きな値がある場合、平均値はその外れ値に引きずられて大きくなりますが、中央値は順位に基づくため影響が限定的です。所得分布などが典型的な例です。
問3：2つの独立した母集団の平均値の差を検定する際、母分散が等しいと仮定できる場合に使用される統計量はどれですか。
- プールした分散を用いたt統計量
- ウェルチのt統計量
- F統計量
- カイ二乗統計量
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正解：プールした分散を用いたt統計量
等分散性が仮定できる場合は、2つの標本分散を重み付き平均した「プールした分散」を使います。等分散が仮定できない場合は「ウェルチ（Welch）のt検定」を用います。
問4：母比率 p、サンプルサイズ n のとき、標本比率 ^p（ピーハット）の分散はどのように表されますか。
- p(1 – p) / n
- np(1 – p)
- √[p(1 – p) / n]
- p / n
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正解：p(1 – p) / n
二項分布の分散 np(1-p) を n² で割ることで、比率の分散が求まります。区間推定の公式のルートの中身として頻出です。
問5：正規分布を用いた95%信頼区間の推定において、信頼区間の幅を決定する係数（z値）として近似的に用いられる値はどれですか。
- 1.96
- 2.58
- 1.65
- 1.00
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正解：1.96
95%信頼区間では 1.96、99%では 2.58、90%では 1.65 を使用します。これらの数値は正規分布表を見なくても即答できるようにしておきましょう。
問6：すべてのデータに対して y = -3x + 10 という完璧な負の直線関係が成り立つとき、x と y の相関係数 r はいくらですか。
- -1
- 1
- -3
- 0
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正解：-1
相関係数は直線の「傾きの大きさ」ではなく「直線性への集中の度合い」を表します。完璧な右下がりの直線であれば、傾きが -3 であっても -100 であっても相関係数は -1 です。
問7：検定の結果、p値（有意確率）が 0.03 でした。有意水準 α = 0.05 で検定を行う場合、どのような判断を下しますか。
- 帰無仮説を棄却し、対立仮説を採択する（有意な差がある）
- 帰無仮説を採択する（有意な差があるとはいえない）
- 有意水準を 0.01 に変更して再検定する
- 検定は失敗であり、サンプルサイズを増やすべきである
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正解：帰無仮説を棄却し、対立仮説を採択する（有意な差がある）
p値 ＜ 有意水準 α となる場合、その結果は「めったに起こらないことが起きた」と判断し、帰無仮説を捨てます。
問8：異なる単位（例：cm と kg）を持つデータのバラつき具合を比較するために用いられる、標準偏差を平均値で割った指標を何と呼びますか。
- 変動係数
- 相関係数
- 決定係数
- 不偏分散
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正解：変動係数
変動係数 = 標準偏差 / 平均 です。単位に依存しないため、「ゾウの体重の個体差」と「ネズミの体重の個体差」を比較するような場合に有効です。
問9：サイコロを60回振って、各目が均等に出ているかどうかを調べるために最適な検定手法はどれですか。
- カイ二乗検定（適合度検定）
- t検定
- F検定
- Z検定
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正解：カイ二乗検定（適合度検定）
「観測された頻度」が「理論上の期待頻度」とどれくらいズレているかを調べるには、カイ二乗統計量を用いた適合度検定が使われます。
問10：2つの独立な変数 X と Y について、E(X) = 2, E(Y) = 3 のとき、E(X + Y) の値はいくらになりますか。
- 5
- 6
- 1
- 独立でないと計算できない
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正解：5
期待値には「線形性」があり、E(X + Y) = E(X) + E(Y) が常に成り立ちます。分散の場合は独立性が条件となりますが、期待値は独立でなくても足し算が可能です。